Noções iniciais de vetores

1. Introdução

Os vetores são fundamentais para entender fenômenos físicos, pois permitem representar grandezas que possuem algum aspecto de direção que não possa ser completamente descrita com um número. Eles estão presentes em diversos contextos, como na análise de forças, movimentos e campos físicos. Neste post, vamos explorar o conceito de vetores, suas propriedades e como são aplicados para descrever diferentes grandezas físicas.

Para compreender melhor como vetores funcionam, é importante diferenciar dois tipos de grandezas:

➡️ Grandezas escalares: são totalmente definidas por um valor numérico e uma unidade. Exemplos incluem massa, temperatura e energia.

➡️ Grandezas vetoriais: exigem, além do valor numérico, a indicação de direção e sentido. Exemplos clássicos são a força, a velocidade e a aceleração.

Deslocamento é um exemplo de grandeza escalar. Descolar-se 10m para o Norte não é o mesmo de deslocar-se 10 m para o Sul. Por outro lado, quando se fala de distância, estamos falando de uma grandeza escalar: 10m para o Norte são tão distantes do ponto de partida quanto 10m para o Sul.

Grandezas escalares são descritas por um número (também chamado de escalar) e uma unidade, já as grandezas vetoriais são completamente descritas como um vetor acompanhado de unidade.

2. Definição e Características de um vetor

Um vetor é definido como um segmento de reta orientado, ou seja, uma linha reta com uma direção e um sentido específico. Essa definição é a base para representar grandezas físicas que não podem ser descritas apenas com um número, como a força e a velocidade.

Todo vetor (exceto o vetor nulo) apresenta três características essenciais:

1. Módulo (ou magnitude/intensidade):Corresponde ao comprimento do segmento de reta associado ao vetor, representando a "quantidade" ou "tamanho" da grandeza vetorial. Seu valor é sempre um número real positivo.

2. Direção:Relaciona-se com a orientação da reta suporte do vetor. Vetores cujas retas suporte são paralelas têm a mesma direção. A direção pode ser, por exemplo, horizontal, vertical ou inclinada em certo ângulo.

3. Sentido:Indica para qual lado da direção o vetor aponta, determinado pela ordem entre a origem e a ponta do vetor. Em uma mesma direção, dois vetores podem ter sentidos opostos.

Importante: A distinção entre direção e sentido é fundamental. Por exemplo, em uma rua reta, pessoas indo e vindo seguem a mesma direção, mas com sentidos opostos. Já em um cruzamento, os pedestres podem se mover em direções diferentes.

Observação: O vetor nulo tem módulo igual a zero e, por isso, não possui direção nem sentido. Ele atua como o elemento neutro na soma vetorial, ou seja, não altera outros vetores quando somado a eles.

3. Vetores como pares ordenados

Na geometria analítica, os vetores podem ser representados de forma algébrica por pares ordenados no plano cartesiano. Essa abordagem facilita a realização de operações matemáticas com vetores e é amplamente utilizada na física e na matemática.

🔹 Definição de vetor como par ordenado

Um vetor no plano bidimensional (ℝ²) pode ser expresso como um par ordenado de números reais:

v=(x,y),

em que:

• x representa a variação na direção horizontal (eixo x);

• y representa a variação na direção vertical (eixo y);

  
  

Esse vetor parte da origem (0,0) e chega ao ponto (x,y). A seguir apresentamos na figura 4 exemplos de vetores contidos em um plano cartesiano.

Em três dimensões (ℝ³), o vetor é representado por uma tríade de números reais:

v=(x,y,z). Por simplicidade, trataremos a seguir de vetores em um plano, mas as regras para vetores em três dimensões são análogas.

4. Operações matemáticas com vetores

   1. Adição de vetores

      Vetores podem ser somados. A soma de vetores se dá transportando graficamente o segundo vetor para o final do segmento de reta orientado que representa o primeiro. A nova seta desenhada, desde o início do primeiro vetor ao final do segundo, representa o vetor a + b, conforme ilustrado abaixo a direita.

      
      

      O vetor soma também pode ser determinado pela regra do paralelogramo, traçando os vetores a e b a partir de um ponto em comum. O vetor soma a + b é uma das diagonais do paralelogramo formado a partir desses dois vetores. Da figura à esquerda, é fácil ver que a+b=b+a para vetores.

      

      Quando tratamos de vetores como pares ordenados, basta somar as componentes separadamente:

      
      

      Se u=(2,3) e v=(4,5), logo u+v=(2+4,3+5)=(6,8).

   2. Multiplicação por escalar

      
      

      Um vetor também pode ser multiplicado por qualquer número real (isto é, um escalar) r. Intuitivamente, multiplicar por um escalar r estica um vetor por um fator de r. Veja a figura a seguir.

      

      
      
      
      

      Se r for negativo, então o vetor muda de direção: ele gira em um ângulo de 180°. Isto é, inverte o seu sentido.

      
      

      Quando tratamos de vetores como pares ordenados, basta multiplicar cada uma das componentes separadamente por r:

      
      

      Se u=(2,3) e r=2, logo 2u=(2*2, 2*3)= (4, 6).

      
      
      
      

   3. Norma de um vetor

      O comprimento, magnitude ou norma do vetor a é denotado por ‖a‖ ou, menos comumente, |a|. O comprimento do vetor a pode ser definido com a norma euclidiana,

A norma de um vetor é basicamente o comprimento do segmento de reta associado a ele.

Temos uma lista de exercícios preparada sobre esse assunto disponível aqui.